Als je een kwadratische functie tekent, krijg je een parabool.
Er zijn 2 verschillende soorten parabolen:
-Dalparabolen: a > 0
-Bergparabolen: a < 0
Er zijn 3 soorten functies voor parabolen:
-f(x) = ax² + bx + c
-f(x) = a(x-s)(x-t)
-f(x) = a(x-p) + q
Op het moment dat de [a] in de formule een positief getal is, is het een dalparabool.
En op het moment dat de [a] in de formule een negatief getal is, is het een bergparabool.
Als de [a] 0 is, is er sprake van een lineaire formule.
Ezelsbruggetje:
Als de a positief is, krijg je een blij gezicht en als de a negatief is, krijg je een verdrietig gezicht.
Hoe stel je een functievoorschrift op bij een parabool?
Zie onderstaande afbeelding
Met de 3 opties hieronder kun je altijd een parabool opstellen:
1. De 2 snijpunten met de x-as en een willekeurig coördinaat zijn bekend:
f(x) = a(x-s)(x-t)
2. De top van de parabool en een willekeurig coördinaat zijn bekend:
f(x) = a(x-p)² + q
3. Het snijpunt met de y-as en 2 willekeurige punten zijn bekend:
f(x) = ax² + bx + c
Voorbeeldopgaven:
1.
Deze parabool heeft de volgende bekende punten:
(-7,0) (4,0) (0,-56)
De vraag is welk voorschrift we moeten gebruiken.
In dit geval is dat nummer 1, omdat de snijpunten met de x-as bekend zijn en er nog een extra punt is.
Bij de vorm “f(x) = a(x-s)(x-t)” kan je direct de snijpunten van de x-as invullen.
LET OP! Je moet de waarden van s en t omgekeerd invullen. Positief -> negatief, negatief -> positief.
f(x) = a(x+7)(x-4)
Nu willen we de waarde van a weten. Dit ga ik doen door een bekend coördinaat in te vullen in de formule.
Dit coördinaat mag geen y = 0 bevatten.
f(0) = a(0+7)(0-4) = -56
Nu ga ik dit eenvoudiger noteren.
-56 = a * 7 * -4
= -28a
Nu kun je de waarde van a bereken door -56 en -28a aan elkaar gelijk te stellen.
-28a = -56
-a = -2
a = 2
Vervolgens vul je a in de formule in en ben je klaar.
f(x) = 2(x+7)(x-4)
2.
Gegeven:
Top: (-7,6)
Willekeurig: (-6,9)
Doordat de top en een willekeurig punt bekend is, gebruik ik de vorm f(x) = a(x-p)² + q.
De waarde van p wordt de x-coördinaat van de top en q wordt de y-coördinaat van de top.
Let hierbij weer op de positief-negatief regel.
f(x) = a(x+7)² + 6
Daarna gaan we a weer berekenen.
Je vult het willekeurige coördinaat in de formule in.
f(-6) = a(-6+7)² + 6 = 9
Dit maak je weer eenvoudiger.
-6 + 7 = 1
a * 1² + 6 = 9
a + 6 = 9
a = 3
Dit vul je weer in in de formule.
f(x) = 3(x+7)² + 6
3.
Gegeven:
(0,4) (3,1) (2,-2)
Hier is het snijpunt van de y-as gegeven en 2 willekeurige coördinaten.
Daarom gebruik ik f(x) = ax² + bx + c.
We kunnen bij x = 0 (gegeven) het y-coördinaat al in de formule invullen. Dat is namelijk c.
f(x) = ax² + bx + 4
Daarna ga ik met de andere coördinaten op deze manier 2 formules van b maken:
f(3) = a * 3² + b * 3 + 4 = 1
9a + 3b + 4 = 1
9a + 3b = -3
3a + b = -1
b = -3a -1
f(2) = a * 2² + b * 2 + 4 = -2
4a + 2b + 4 = -2
4a + 2b = -6
2a + b = -3
2a = -b -3
b = -2a -3
Nadat je de 2 b’s hebt gevonden, stel je die aan elkaar gelijk.
-3a -1 = -2a -3
-a = -2
a = 2
Daarna ga je de waarde van a in beide formules invullen om je antwoord te berekenen en ook na te kijken.
b = -3a -1 -> b = -3 * 2 -1 = -7
b = -2a -3 -> b = -2 * 2 -3 = -7
De twee uitkomsten zijn gelijk, dus het antwoord klopt!
Nu vul je de waarde van a en b in de basisformule in.
f(x) = 2x² – 7x + 4
Hoe bereken je de top van een parabool?
Je gebruikt een deel van de ABC-formule om de top te berekenen. Als je nog niet weet wat welke letter is, kun je hieronder klikken.
De formule om x waarde van de top te berekenen is -b/2a.
Voorbeeld:
f(x) = 4x² – 25x + 20
a = 4
b = -25
-(-25)/4 = 25/4 = 6,25
x = 6,25
x invullen: (denk aan de rekenregels)
f(6,25) = 4*6,25² – 25*6,25 + 20 = 20
y = 20
Coördinaat van de top:
(6,25;20)